Sequências numéricas e não numéricas

Uma ideia intuitiva de sequência pode ser a de uma fila de pessoas,assim como os dias da semana ou o resultado da Mega Sena. Desses exemplos, observe que apenas os dias da semana apresentam uma característica especial, eles se repetem, indefinidamente, na mesma ordem.

O interesse matemático se dá justamente nesse tipo de sequência em que há uma regularidade e que, portanto, é possível que tenhamos uma previsibilidade ou, na maioria desses casos, até mesmo a certeza de um resultado.

Embora essas sequências podem ser observadas em figuras, objetos ou elementos da natureza, nossos estudos estarão mais voltados para as ditas sequências numéricas e, particularmente em dois tipos mais comuns: A Progressão Aritmética e a Progressão Geométrica, essa última tem tido um destaque especial em função da pandemia do Covid19 que assola o planeta e, em especial, agora, no Brasil; vamos a elas.

Progressão Aritmética: É uma sequência de termos numéricos (ou que podemos associar uma quantidade numérica) onde cada termo, a partir do segundo, é igual ao termo anterior somado de um valor constante, valor esse denominado de razão da progressão aritmética.

Assim, a sequência de números naturais {1,2,3,4,...,999,1000,1001,...} é uma Progressão Aritmética (usaremos a expressão P.A.) cuja razão é 1.

Também, a sequência de números pares (que é a tabuada do 2) é uma P.A. de razão 2, vejamos: {2,4,6,8,10,12,14,......}

Note que a P.A. pode ser finita ou infinita. Vejamos outros exemplos:

A={3,7,11,15,19,23,27} é uma P.A. de termo inicial 3 e razão 4 (a razão é obtida efetuando-se a subtração de dois termos consecutivos, no caso temos: 7-3=4; 11-7=4; 15-11=4, etc.

B={100,85,70,55,40,25,10,-5,-20} também é uma P.A. cujo termo inicial (indicamos por a₁) é igual a 100 (a₁=100) e a razão (indicaremos por r) é igual a -15, ou seja, r= -15. Observe que 85-100= -15; 70-85= -15. Essa é uma P.A. decrescente, pois a razão é negativa.

Assim, genericamente, representaremos as sequências da seguinte forma:  , onde cada um deles representa um termo da sequência e os índices representam a posição desses elementos na sequência, ou seja, a₁ é o primeiro termo da sequência, a₂ é o segundo termo, a₃ é o terceiro termo e assim por diante e, se a sequência tem um número finito de números, o último termo (chamamos de n-ésimo termo) é representado por a_n e, por consequência, o penúltimo é a_n-1. Assim, representamos por a_n um termo qualquer, um termo genérico da sequência. Da mesma forma, genericamente a razão da P.A. é dada por .

TERMO GERAL DA P.A.

Pela definição acima, o segundo termo da P.A.(a₂) é igual ao primeiro termo(a₁) somado da razão(r) dessa P.A., ou seja, , da mesma forma, temos que  ou, substituindo o valor de a2 pela expressão anterior, . Analogamente, se quisermos determinar um termo qualquer da P.A., ou seja um a_n qualquer, utilizamos a expressão do termo geral da P.A., dado por: .

Exemplos:

1)      Vamos determinar o 8º termo (n=8) da Progressão Aritmética cujo termo inicial é 3 (a₁=3)e a razão é 4 (r=4).

Solução: Como a fórmula do termo geral é  , temos que:

Ou seja, o oitavo termo da P.A. será 31.

2)      (Adaptada ENEM – 2011) O número mensal de passagens de uma determinada empresa aérea aumentou no ano passado nas seguintes condições: em janeiro foram vendidas 33 000 passagens; em fevereiro, 34 500; em março, 36 000. Esse padrão de crescimento se mantém para os meses subsequentes. Quantas passagens foram vendidas por essa empresa em julho do ano passado?

Solução: Primeiramente vamos verificar se a sequência é uma P.A., ou seja, se a razão de crescimento (ou decrescimento) é constante. Faremos isso subtraindo os termos:, ou seja, a sequência é uma P.A. com razão r=1.500 e termo inicial a₁=33.000.

Como queremos o valor do mês de Julho, que é o sétimo mês do ano, queremos encontrar o valor de a₇, ou seja, n=7, então:  , ou seja:

Resposta: O número de passagens aéreas vendidas no mês de julho do ano passado foi de 42.000.